Das Heiztankmodell
Fünf Zustandsgrößen, vier Bilanzen, ein Zeitschritt
Zuletzt aktualisiert: 13. August 2026
Der fachliche Kern der Arbeit ist die Herleitung des Modells. Nachgebildet wird ein Druckbehälter mit 0,5 m³, darin Wasser, darüber ein Kopfraum aus Dampf und Luft, geheizt mit bis zu 150 kW.
Was der Zustand enthält
Der Zustandsvektor führt Wassermasse, innere Energie des Wassers, Dampfmasse, Luftmasse und die aktuell wirkende Heizleistung. Alles Weitere wird daraus berechnet: die Temperatur aus Energie und Masse, der Druck aus den Partialdrücken von Dampf und Luft nach der idealen Gasgleichung.
Die Teilbilanzen
Die Wassermasse wächst über die Zulaufventile und sinkt über den Ablauf und die Verdampfung; der Ablaufstrom hängt von der Wurzel des Drucks ab. Die Energiebilanz addiert die Heizleistung und zieht Wärmeverlust und Verdampfungsenthalpie ab. Der Druck im Kopfraum folgt aus Dampf- und Luftmasse mit ihren Gaskonstanten.
Wann Wasser überhaupt verdampft, entscheidet der Sättigungsdruck nach Antoine. Er steigt mit der Temperatur steil an — bei 100 °C liegt er bei etwa 1,01 bar, die Alarmschwelle B4 bei 2,8 bar und das Sicherheitsventil bei 3,5 bar.
Warum die Heizung träge ist
Ein Heizglied wird nicht sprunghaft heiß. Modelliert wird es als Verzögerungsglied erster Ordnung mit einer Zeitkonstante von 12 s: nach einer Zeitkonstante 63,2 % des Endwerts, nach drei rund 95 %, nach fünf 99,3 %. Eine höhere Ordnung würde mehr Parameter verlangen, ohne dass es für den Zweck etwas brächte.
Vom Differentialgleichungssystem zum Takt
Die gekoppelten Gleichungen werden mit dem expliziten Euler-Verfahren diskretisiert:
x(k+1) = x(k) + f(x(k), u(k)) · Δt mit Δt = 50 ms. Das ist das einfachste Verfahren,
und genau das ist hier ein Vorteil: Es passt in einen festen Zyklus, ist Schritt für
Schritt nachvollziehbar und lässt sich gegen die analytische Lösung prüfen.
Sensoren und Ventile
Aus dem Zustand entstehen digitale Melder: B1 meldet den oberen Füllstand ab 450 l, B2 den unteren ab 50 l, B3 die Temperatur ab 95 °C und B4 den Druck ab 2,8 bar. Gestellt wird über die Ventile Y1 bis Y4 und den Heizbefehl E1 — genau die Signale, die auch an der echten Platine anliegen würden.
