Kapitel 08 Modell
Das Heiztankmodell
Zustandsvektor, vier Teilmodelle und explizites Euler-Verfahren
Das Heiztankmodell beschreibt einen Druckbehälter mit Wasser und einem Kopfraum aus Dampf und Luft durch fünf Zustandsgrößen. Vier Teilmodelle (Massenbilanz des Wassers, Energiebilanz, Druckberechnung und ein verzögertes Heizglied) werden mit dem expliziten Euler-Verfahren im Zeitschritt Δt = 50 ms fortgeschrieben. Aus dem Zustand entstehen die digitalen Melder B1 bis B4, die den Signalen der Prüfungsplatine entsprechen.
Der fachliche Kern der Arbeit ist die Herleitung des Modells. Nachgebildet wird ein Druckbehälter mit 0,5 m³ Volumen, darin Wasser, darüber ein Kopfraum aus Dampf und Luft (Dampfraum), geheizt mit bis zu 150 kW (Abb. 7a).
Zustandsvektor
Der Zustandsvektor x(k) führt die Wassermasse, die innere Energie des Wassers, die Dampfmasse, die Luftmasse und die aktuell wirkende Heizleistung. Alles Weitere wird daraus berechnet: die Wassertemperatur aus Energie und Masse (ϑ_w = E_w / (m_w · c_w) mit c_w = 4180 J/(kg·K)) und der Druck aus den Partialdrücken von Dampf und Luft nach der idealen Gasgleichung.
Die vier Teilmodelle
Das Modell besteht aus vier gekoppelten Teilen (Abb. 11b):
- Massenbilanz des Wassers: Die Wassermasse wächst über die Zulaufventile und sinkt über den Ablauf und die Verdampfung. Der Ablaufstrom hängt von der Wurzel des Drucks ab.
- Energiebilanz: Sie addiert die Heizenergie und zieht die Verdampfungsenergie und den Abflussverlust ab.
- Druckberechnung: Der Druck im Kopfraum folgt aus Dampf- und Luftmasse mit ihren Gaskonstanten; die Teildrücke werden nach Dalton addiert.
- Heizglied: Die Heizleistung folgt dem Sollwert mit Verzögerung (Abschnitt „Warum die Heizung träge ist“).
Ob Wasser überhaupt verdampft, entscheidet der Sättigungsdruck, der mit der Antoine-Gleichung aus der Temperatur berechnet wird: Übersteigt er den Druck im Tank, siedet das Wasser (Abb. 10). Er steigt mit der Temperatur steil an. Bei 100 °C liegt er bei etwa 1,01 bar; die Alarmschwelle B4 liegt bei 2,8 bar, das Sicherheitsventil bei 3,5 bar.
Warum die Heizung träge ist
Ein Heizglied wird nicht sprunghaft heiß. Modelliert wird es als Verzögerungsglied erster Ordnung (PT1-Glied) mit einer Zeitkonstante von τ = 12 s: Nach einer Zeitkonstante hat die Heizleistung 63,2 % ihres Endwerts erreicht, nach drei Zeitkonstanten rund 95 %, nach fünf 99,3 % (Abb. 8). Ein Modell höherer Ordnung würde mehr Parameter verlangen, ohne dass dies für den Zweck der Arbeit etwas brächte.
Vom Differentialgleichungssystem zum Takt
Die gekoppelten Gleichungen werden mit dem expliziten Euler-Verfahren diskretisiert: x(k+1) = x(k) + f(x(k), u(k)) · Δt mit Δt = 50 ms. Das ist das einfachste Einschrittverfahren, und genau das ist hier ein Vorteil: Es passt in einen festen Zyklus, ist Schritt für Schritt nachvollziehbar und lässt sich gegen die analytische Lösung prüfen (Kapitel 10). Für das PT1-Glied ist das Verfahren stabil, solange Δt/τ < 2 gilt; hier beträgt das Verhältnis etwa 0,004 (Abb. 11b). Diese Aussage betrifft nur das Heizglied.
Sensoren und Ventile
Aus dem Zustand entstehen digitale Melder: B1 meldet den oberen Füllstand ab 450 l, B2 den unteren Füllstand bei höchstens 50 l, B3 die Temperatur ab 95 °C und B4 den Druck ab 2,8 bar. Gestellt wird über die Zulaufventile Y1 und Y2, das Ablaufventil Y3, das Entlüftungsventil Y4 und den Heizbefehl E1. Das sind genau die Signale, die auch an der Prüfungsplatine des Heiztanks anliegen würden (Kapitel 1).
Wie das Modell im festen Zyklus aufgerufen wird, beschreibt Kapitel 9; die Prüfung gegen Erwartungswerte folgt in Kapitel 10.